Modulul unui număr real

definiție:

Se numește modul sau valoare absolută a numărului real a, distanța măsurată pe axa numerelor reale de la origine la punctul corespunzător numărului a și se notează cu  $$\left|a\right|$$ .

Proprietăți:

• $$\left|a\right|\ge0,\forall a\in R$$  

• $$\left|a\right|=0\Longleftrightarrow a=0$$  

• $$\left|-a\right|=\left|a\right|$$  

• $$\left|ab\right|=\left|a\right|\cdot\left|b\right|$$  

• $$\left|a+b\right|\le\left|a\right|+\left|b\right|$$  

Explicitarea modulului

A1/15

Dacă  $$a\in N,\ b\in Z-N$$ să se scrie sub forma cea mai simplă expresia  $$E=\sqrt{25a^2}-\sqrt{\frac{b^2}{4^{-2}}}+\sqrt{\frac{1}{\left(a+1\right)^{-2}}}-\sqrt{\left(2a+1\right)^2}-\sqrt{\left(b-a\right)^2}$$

soluție:

• deoarece

  $$a\in N,\ b\in Z-N$$ $$\Longrightarrow a\ge0,\ b<0,\ a>b$$   

• $$E=5\left|a\right|-4\left|b\right|+\left|a+1\right|-\left|2a+1\right|-\left|b-a\right|$$  

• $$E=5a+4b+a+1-2a-1+b-a=3a+5b$$  

Ecuații simple cu modul

• $$\left|x\right|=a\ \Longrightarrow\ x=\pm a,\$$  dacă  $$a\ge0$$  

• $$\left|x\right|=a\ \Longrightarrow\ x\in\phi,\ \forall a<0$$  

• $$\left|x\right|=\left|y\right|\Longrightarrow\ x=\pm y$$  

Inecuații simple cu modul

• $$\left|x\right|<a\ \Longrightarrow\ -a<x<a,\ \forall\ a>0$$  

• $$\left|x\right|<a\ \Longrightarrow\ x\in\phi,\ \forall\ a\le0$$  

• $$\left|x\right|>a\ \Longrightarrow\ x>a\$$  și  $$x<-a,\ \forall\ a>0$$  

• $$\left|x\right|>a\ \Longrightarrow\ x\in R,\ \forall\ a\le0$$